探寻最短距离的几何奥秘

费尔马点，一个在几何学中具有独特意义的点，其定义是：在一个三角形中，存在这样一个点，它到三角形三个顶点的距离之和达到最小，对于顶角不超过120度的三角形，费尔马点恰好位于对每一边的张角均为120度的位置，而在顶角超过120度的三角形中，费尔马点则位于最大的内角顶点，下面内容图为例，设P为三角形ABC中的任意一点。

费尔马点，亦称作费马点或托里拆利点，是三角形内部的一个独特存在，它不仅拥有一个独特的性质——到三角形三个顶点的距离之和最短，而且在几何学及众多实际应用中都扮演着举足轻重的角色。

阿涅泽·玛蒂娅·海塔娜·阿涅泽，一位才华横溢的女性，不仅是一位杰出的数学家，还是语言学家、哲学家，以及夜游病患者，与笛卡儿从轨迹出发寻找方程的思路不同，费尔马则是从方程出发探究轨迹，这种从方程到轨迹的逻辑，体现了解析几何两个核心规则的对立面。

费尔马点：费尔马的研究轨迹

1、费尔马的研究涉及多个数学定理，展示了他数论领域的独到见解，小费尔马定理指出，如果p是素数且a与p互素，那么a^(p-1)-1可以被p整除，当p=5，a=2时，15=53，1640年，费尔马在给德贝西的信中提出，但未给出证明，直到1736年欧拉发表了首个证明。

2、与笛卡儿从轨迹出发寻找方程的思路不同，费尔马则是从方程出发探究轨迹，这种从方程到轨迹的逻辑，体现了解析几何两个核心规则的对立面，费尔马的著作采用了韦达的符号体系，与笛卡儿更为现代化的记号相比，显得更为古典。

3、为了领会这种技巧的应用，费尔马可能就是用它来证实他的众多发现，这种技巧的巧妙之处在于，通过不断缩小难题规模，最终揭示出矛盾，从而证明原假设的错误，费尔马的无限递降法，虽然看似简单，却蕴含着深刻的数学聪明，至今仍在数论和相关领域中发挥着重要影响。

4、费尔马点，也称为费马点或托里拆利点，是三角形内的一个特定位置，这个点具有一个独特的性质：从该点到三角形的三个顶点的距离之和最短，这特点质使得费尔马点在几何学和许多实际应用中具有重要的地位。

5、费尔马难题：费尔马点，就是到三角形的三个顶点的距离之和最短的点，对于一个锐角三角形，费尔马点是对各边的张角都是120度的点，对于直角、钝角三角形，费尔马点就是最大的内角的顶点。

费尔马点难题：探寻几何极值

费尔马难题（Fermat problem）是著名的几何极值难题，费马曾提出一难题征解：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和为极小。

当三角形的一个内角大于或等于120度时，该内角的顶点便是费马点，若三个内角均小于120度，则在三角形内部存在一个点，对三角形三边张角均为120度，此点即为费马点，证明：费马点对边的张角为120度，在△CC1B和△AA1B中，BC等于BA1，BA等于BC1，且∠CBC1等于∠B加60度，即∠ABA1。